第七章  期权价值评估

【例题13·计算题】假设A公司的股票现在市价为50元，有一股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有2种可能：上升33.33%，或者下降25%，借款利率（无风险利率）为每年4%。通过建立一个投资组合，包括购进适当的股票以及借入必要的款项，求6个月后到期的看涨期权的价值？

【解析】

（1）确定6个月后股票可能的价格。S_u=S₀×u=50×（1+33.33%）=66.66（元）；S_d= S₀×d=50×（1-25%）=37.5（元）。

（2）确定看涨期权的到期日价值。C_u=Max（0，S_u-X）= Max（0，66.66-52.08）=14.58（元）；C_d=Max（0，S_d-X）= Max（0，37.5-52.08）=0（元）.

（3）建立对冲组合。S_u×n-B×（1+r）=C_u  ；S_d×n-B×（1+r）=C_d

66.66×n-B×（1+2%）=14.58；37.5×n-B×（1+2%）=0；解得B=18.38（元）、n=0.5（股）

（4）看涨期权价格即为购建组合成本。看涨期权价格=组合成本=n×S₀-B=0.5×50-18.38=6.62（元）。

【例题13·计算题】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。求该期权的价格？

【解析】

（1）求上行概率。

期望报酬率=2%=上行概率×33.33%+下行概率×（-25%）=上行概率×33.33%+（1-上行概率）×（-25%）

上行概率=0.4629，下行概率=1-0.4629=0.5371

（2）求期权到期后的期望价值。C=0.4629×14.59+0.5371×0=6.75（元）

（3）求期权的现值。期权现值=6.75÷（1+2%）=6.62（元）

【例题14·计算题】假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40%，或者降低30%。无风险利率为每年4%。

要求：利用单期二叉树定价模型确定期权的价值。

【答案】 C_u=Max（0，S_u-X）= Max（0，20×（1+40%）-21）=7（元）

【例题15·计算题】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险报酬率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，求看跌期权的价格为多少？

【答案】根据C-P=S-PV（X），得到：

P=C-S+PV（X）=9.20-35+30÷（1+4%）=9.20-35+28.8=3（元）

【例题16·单选题】某股票的现行价格为20元，以该股票为标的资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权的执行价格均为24.96。都在6个月后到期。年无风险利率为8%，如果看涨期权的价格为10元，看跌期权的价格为（）元。（2013年）

A.6.89

B.13.11

C.14

D.6

【答案】C

【解析】20+看跌期权价格=10+24.96/（1+4%），所以看跌期权价格=14元。

【例题17·计算题】甲公司股票当前每股市价40元，6个月以后股价有两种可能：上升25%或下降20%，市场上有两种以该股票为标的资产的期权：看涨期权和看跌期权。每份看涨期权可买入1股股票，每份看跌期权可卖出1股股票，两种期权执行价格均为45元，到期时间均为6个月，期权到期前，甲公司不派发现金股利，半年无风险利率为2%。

要求：

（1）利用风险中性原理，计算看涨期权的股价上行时到期日价值、上行概率及期权价值，利用看涨期权-看跌期权平价定理，计算看跌期权的期权价值。

（2）假设目前市场上每份看涨期权价格2.5元，每份看跌期权价格6.5元，投资者同时卖出1份看涨期权和1份看跌期权，计算确保该组合不亏损的股票价格区间，如果6个月后，标的股票价格实际上涨20%，计算该组合的净损益。（注：计算股票价格区间和组合净损益时，均不考虑期权价格的货币时间价值）（2015年试卷Ⅱ）

【答案】（1）看涨期权的股价上行时到期日价值=40×（1+25%）-45=5（元）

2%=上行概率×25%+（1-上行概率）×（-20%）

即：2%=上行概率×25%-20%+上行概率×20%

则：上行概率=0.4889

由于股价下行时到期日价值=0

所以，看涨期权价值=（5×0.4889+0.5111×0）/（1+2%）=2.4（元）

看跌期权价值=45/（1+2%）+2.4-40=6.52（元）

（2）

卖出看涨期权的净损益=-Max（股票市价-执行价格，0）+期权价格=-Max（股票市价-45，0）+2.5

卖出看跌期权的净损益=-Max（执行价格-股票市价，0）+期权价格=-Max（45-股票市价，0）+6.5

组合净损益=-Max（股票市价-45，0）-Max（45-股票市价，0）+9

因要求组合不归亏损，故

当股价＞执行价格时：组合净损益=0=-（股票市价-45）+9，股票市价=54（元）

当股价＜执行价格时：组合净损益=0=-（45-股票市价）+9，股票市价=36（元）

所以，确保该组合不亏损的股票价格区间为36元～54元。

如果6个月后的标的股票价格实际上涨20%,即股票价格为40×（1+20%）=48（元），则：组合净损益=-（48-45）+9=6（元）。